1. Obras lógicas: Los principios del conocimiento y Principia mathematica (ésta última en colaboración con Alfred North Whitehead).
2. Obras filosóficas: El conocimiento humano, su alcance y sus límites; Análisis de la materia; Análisis de la conciencia; La filosofía de Leibniz; Investigación acerca del significado y de la verdad y Mi desarrollo filosófico.
3. Ensayos: El impacto de la ciencia en la sociedad, Autoridad e individuo, Mística y lógica y El concepto de la felicidad.
4. Obras de divulgación: El A.B.C. de la relatividad e Historia de la filosofía occidental.
Xirau explica que la lógica matemática o simbólica nació cuando los filósofos y matemáticos se ocuparon del surgimiento de geometrías no euclidianas internamente consistentes pero contradictorias entre sí. Ésta fue fundada por George Boole, y sus continuadores fueron Ernst Schröder, Giuseppe Peano y Gottlob Frege, quien influyó de manera decisiva en Russell y Whitehead.
Russell y Whitehead, en su libro Principia mathematica, intentan establecer el fundamento lógico del lenguaje matemático.
Xirau explica: “Russell renuncia a la metafísica tradicional. No cree que pueda probarse nada acerca de la existencia de Dios, del alma o del universo como sustancia. No renuncia a la metafísica en cuanto piensa que existe y debe existir una concepción del mundo.”
El fundamento lógico de la aritmética
¿De qué problemas se ocupaban Gottlob Frege (1848-1925) y Bertrand Russell (1872-1970)? Los dos filósofos se ocuparon de la filosofía del lenguaje y de la filosofía de las matemáticas. Ambos se planteaban el problema de la igualdad (al que me referiré más adelante). De igual forma, ambos trabajaron en lo que se conoce como “el proyecto logicista”: fundamentar las matemáticas en la lógica. Para Frege, las verdades de la aritmética (más no las de la geometría) podían deducirse de la lógica. Al ocuparse de este proyecto, Frege –en su Conceptografía de 1879- introdujo una notación (“para todo”, “para al menos un”) que permitió la cuantificación de una gran cantidad de argumentos. Posteriormente Russell y Alfred North Whithead usaron una notación menos extensa en sus Principia Mathematica (1910-1913).
El sistema lógico de Frege daba lugar a una paradoja, ésta se la hizo notar Russell. Se trata de la siguiente pregunta: ¿Se contiene a sí mismo como elemento el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos?
De ahí que Frege introdujera cambios en sus Leyes básicas de la aritmética (1902) pero abandonó su proyecto. Russell continuó trabajando en éste.
Tres temas importantes dentro de la Filosofía de las matemáticas
En 1928, durante un congreso de matemáticas, David Hilbert, preocupado por el tema del fundamento de las matemáticas, planteó que debían abordarse las siguientes tres preguntas:
a) ¿Son completas? Es decir, ¿puede probarse o refutarse cualquier enunciado matemático?
b) ¿Son consistentes? Planteado de otra forma: ¿puede probarse que un enunciado matemático falso no puede derivarse de una secuencia de pasos válidos?
c) ¿Son decidibles? Es decir, ¿existe un método definido, aplicable en principio a cualquier enunciado, que permita llegar a la decisión de si el enunciado en cuestión es verdadero?
En 1931 apareció el texto Sobre las proposiciones formalmente indecibles de los Principia Mathematica y sistemas conexos. Se trataba de la respuesta de Kurt Gödel al programa planteado por Hilbert.
Gödel mostraba que no puede probarse la consistencia de las matemáticas, y que si se asumen consistentes no puede probarse que sean completas.
Sobre el primer punto, Ernest Nagel y James R. Newman, en su libro sobre el teorema de Gödel, escriben: “(Gödel) demostró que es imposible presentar una prueba matemática de la consistencia de un sistema lo bastante comprensivo como para abarcar toda la aritmética, a menos que se empleen en la prueba reglas de deducción que difieran en ciertos aspectos esenciales de las reglas de transformación utilizadas para derivar teoremas dentro del sistema. Indudablemente, una prueba así posee un gran valor e importancia. Sin embargo, si el razonamiento se basa en reglas de deducción mucho más potentes que las reglas del cálculo aritmético, de tal modo que la consistencia de las hipótesis contenidas en el razonamiento esté tan sujeta a la duda como lo está la consistencia de la aritmética, la prueba no producirá sino un especioso triunfo; sería matar un dragón solamente para crear otro.”
Sobre el segundo punto dicen: “Gödel demostró que los Principia, o cualquier otro sistema dentro del cual pueda desarrollarse la aritmética, es esencialmente incompleto. En otras palabras: dado cualquier conjunto consistente de axiomas aritméticos, existen proposiciones aritméticas verdaderas que no pueden ser derivadas de dicho conjunto.” Después de exponer la forma en que Gódel trabajó, afirman: “debemos concluir que si la aritmética es consistente, su consistencia no puede ser demostrada por ningún razonamiento metamatemático susceptible de ser representado dentro del formalismo de la aritmética.”
El trabajo de Gödel terminó con el proyecto logicista.
Gödel no afirmaba nada acerca del tercer problema, el de si las matemáticas son decidibles. Cabía la posibilidad de que existiera un método para distinguir entre las proposiciones que se pueden probar y las que no. De este tema se ocupó Alan Turing (1912-1954). La respuesta que dio fue negativa. El posible método para responder a la decibilidad no se centraba en enunciados o proposiciones sino en el cómputo de números, es decir, se trataba de un problema equivalente. Entonces planteó lo que se conoce como Máquinas de Turing
El problema de la igualdad
Frege se preguntó acerca de la manera en que debemos entender la identidad. ¿Es una relación?, ¿de qué tipo?, y más importante, ¿entre qué: entre objetos, entre signos?
¿Es lo mismo 'a=a' que 'a=b'?
a=a es a priori y necesaria porque todo objeto es igual a sí mismo. Si 'a=b' es verdadera perecería ser trivial (si se refiriera a objetos), pues estaríamos diciendo lo mismo que 'a=a'. Pero los libros de matemáticas y de física están llenos de ecuaciones, así, podemos pensar que 'a=b' no es trivial.
La primera respuesta al enigma de la identidad que diera Frege corresponde a su semántica del contenido conceptual. Tienen contenido conceptual los nombres (y éste es el objeto que denotan), los enunciados y tal vez los términos conceptuales.
El contenido conceptual es la información contenida en los mencionados términos. El contenido conceptual de un nombre es el objeto que denota. Dos enunciados lógicamente equivalentes comparten contenido conceptual. Esto es: sean A, B, C y D enunciados. Si A y C implican D, y B y C implican D, entonces A y B tienen el mismo contenido conceptual.
Frege afirmó en su semántica del contenido conceptual que una ecuación es una relación no entre objetos del mundo sino entre signos.
De forma que una ecuación deba interpretarse de la siguiente manera: El término que está a la derecha del signo de igualdad y el término que está a la izquierda se refieren al mismo objeto. Por ejemplo, 'perro=dog' se debe entender como la palabra 'perro' y la palabra 'dog' se refieren al mismo animal.
Posteriormente Frege introduce los conceptos de referencia y sentido.
¿Por qué modifica su anterior semántica? Entre otras cosas porque esta viola el principio de composicionalidad.
Este concepto se refiere a lo siguiente: podemos entender el sentido de enunciados nunca antes escuchados porque entendemos el sentido de las expresiones que contiene o que lo forman.
El principio de composicionalidad dice que si un enunciado tiene un cierto sentido y sustituimos una de sus expresiones por otra con la misma referencia, entonces el sentido del enunciado se conserva. Pero hay ejemplos en los que no sucede esto. Para resolver este problema Frege introdujo los conceptos mencionados.
La referencia de un nombre es el objeto que denota. ¿Tiene referencia un enunciado? Frege pensó que sí. ¿Cuál sería éste?
Cuando nos interesa el sentido de un enunciado nos fijamos en el sentido de las expresiones que lo componen. Cuando nos interesamos en la referencia de los nombres, por ejemplo, pensamos en su valor de verdad. De igual forma, los enunciados con expresiones sin referencia no tienen valor de verdad. Esto le indicó el camino a Frege para plantear que:
La referencia de un enunciado no es el pensamiento que expresa, pues al cambiar un nombre con la misma referencia, el pensamiento del enunciado cambia, pero no su valor de verdad. Así, la referencia de un enunciado es su valor de verdad.
Ya con su nueva semántica, Frege dice que 'a=b' no es trivial cuando es verdadero porque aunque 'a' y 'b' tienen la misma referencia, tienen distinto sentido.
Russell hace algunas críticas a las ideas de Frege (sobre la referencia y el sentido), propone su propia teoría y con ella resuelve problemas tratados por el mismo Frege (lo anterior en “On denoting”).
Russell plantea que las expresiones denotativas nada significan por sí mismas, pero contribuyen al significado de los enunciados en los que aparecen. Así, la expresión “un hombre” nada significa por sí misma, pero el enunciado “ayer le pegué a un hombre” sí tiene significado.
El filósofo plantea la paráfrasis para las expresiones denotativas. Y esta misma paráfrasis la usa para explicar su idea de las descripciones definidas.
La paráfrasis consiste en traducir el lenguaje ordinario al lenguaje formal (o lógico). Para Russell la ecuación (la identidad) no es trivial cuando es verdadera porque no se refiere a la relación de un objeto consigo mismo, sino a una descripción definida.
Entonces la ecuación a=b puede verse como a=cierta descripción definida.
Los nombres pueden contener “escondida” una descripción definida. Ejemplo: Platón=autor de Cármides. Y la paráfrasis comenzaría así: Existe uno y sólo un autor del texto Cármides, y ese es Platón. Aunque todavía esta frase pueda formalizarse.
Nota: En la galería de la UAM Iztapalapa se está exhibiendo actualmente el trabajo fotográfico de Iván Galíndez (alumno de la carrera de Filosofía). La exposición se titula Piel de la Tierra. “Ilógica bendita de la desnudez” es el título de la fotografía que acompaña esta entrada. Galíndez tuvo el buen tino de usar para la foto periódico con un artículo y una imagen de Bertrand Russell. Cuando la vi pensé que estaría perfecta para ilustrar un texto sobre este filósofo. Por ello me “improvisé” esta entrada (mezcla de algunas cosas que he escrito sobre Russell, la filosofía del lenguaje y de las matemáticas). Entonces lo importante de esta entrada es la imagen, no el texto. Así –para ser exacto- me debo referir no a la foto que acompaña al texto sino al texto que acompaña a la imagen.
